Satz des Pythagoras

 aufwärts

Der Satz von Pythagoras besagt, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck die Quadrate über den beiden kürzeren Seiten a und b zusammen­genommen dieselbe Fläche ergeben wie das Quadrat über der längsten Seite c. Dies lässt sich durch die berühmte Formel

a2 + b2  =  c2

ausdrücken. Es gibt viele unter­schiedliche Möglichkeiten, zu beweisen, dass der Satz stimmt. Bei geometrischen Beweisen werden die Flächen ineinander verwandelt, also das Quadrat über der Seite c in die beiden anderen Quadrate und umgekehrt. Zwei dieser Beweise werden im Folgenden gezeigt.

 

Scherung

Wenn bei einem Rechteck eine Seite in Bezug zur gegenüber­liegenden Seite parallel­verschoben wird, so bezeichnet man dies als Scherung. Probiere einmal aus, das Rechteck zu scheren:

Scherung eines Rechtecks

Das entstehende Parallelogramm hat dieselbe Fläche wie das Rechteck, da es gegenüber dem Rechteck auf der einen Seite eine dreieckige Fläche (gelb) mehr hat, auf der anderen Seite aber genau dieselbe Fläche (hellblau) weniger.

Das ganze funktioniert auch, wenn schon die Ausgangsfigur ein Parallelogramm ist.

 

Beweis des Satzes von Pythagoras durch Scherung

Wir unterteilen das Quadrat c2 in zwei Rechtecke (hellblau und grün dargestellt). Das hellblaue Rechteck scheren und verschieben wir dann so, dass es b2 ergibt, das grüne Rechteck scheren und verschieben wir so, dass es a2 ergibt. Da die Fläche bei einer Scherung oder Verschiebung gleich bleibt, ist der Satz damit bewiesen. Probier es selbst aus!

Beweis des Satzes von Pythagoras durch Scherung

 

Beweis des Satzes von Pythagoras durch Flächen­verschiebung

In der folgenden Figur sind vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Seitenlängen a, b und c zu sehen, außerdem das Quadrat c2 (rosa). Wenn jetzt das hellblaue und das gelbe Dreieck nach oben gedreht werden, bleibt die Gesamtfläche gleich, aber statt c2 entstehen a2 und b2. Also müssen die Flächen gleichgroß sein.

Beweis des Satzes von Pythagoras durch Flächen­verschiebung

 

Literatur

[1]http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/pythago1.htm   (und vieles andere aus der Mathematik)

 

 

up

 

homeH.W. Lang   FH Flensburg   lang@fh-flensburg.de   Impressum   ©   Created: 09.01.2004   Updated: 05.04.2009
Valid HTML 4.01 Transitional