Mathematik

Zahlenbereiche

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Natürliche Zahlen

Die Zahlen 1, 2, 3, 4, ... bilden die Menge natürliche Zahlen der natürlichen Zahlen.

 

Ganze Zahlen

Beim Rechnen in den natürlichen Zahlen natürliche Zahlen tritt das Problem auf, dass die Gleichung

x + 1 = 0

keine Lösung hat. Es gibt keine natürliche Zahl, die für x eingesetzt, die Gleichung erfüllt. Erst wenn der Zahlenbereich zu den ganzen Zahlen ganze Zahlen erweitert wird, lässt sich die Gleichung lösen: Es ist x = -1.

Im Bereich der ganzen Zahlen ganze Zahlen kann man in der gewohnten Weise addieren, subtrahieren und multiplizieren, jedoch im allgemeinen nicht dividieren. Die ganzen Zahlen ganze Zahlen bilden die mathematische Struktur eines Rings.

 

Rationale Zahlen

In ähnlicher Weise muss der Zahlenbereich zu den rationalen Zahlen rationale Zahlen erweitert werden, um die Gleichung

2x – 1 = 0

lösen zu können, denn die Lösung

x   =   
1
2

ist keine ganze Zahl. Im Bereich der rationalen Zahlen lassen sich die vier Grund­rechenarten in der gewohnten Weise ausführen. Die rationalen Zahlen rationale Zahlen bilden die mathematische Struktur eines Körpers.

 

Reelle Zahlen

Um die Gleichung

x2 – 2 = 0

lösen zu können, muss der Zahlenbereich wiederum zu den reellen Zahlen reelle Zahlen erweitert werden. Man kann zeigen, dass die Gleichung von keiner rationalen Zahl erfüllt wird, sondern nur von einer reellen Zahl, nämlich Wurzel2.

Auch die reellen Zahlen reelle Zahlen bilden einen Körper.

 

Komplexe Zahlen

In den reellen Zahlen hat wiederum die Gleichung

x2 + 1 = 0

keine Lösung. Erst wenn der Zahlenbereich zu den komplexen Zahlen komplexe Zahlen erweitert wird, hat die Gleichung die Lösungen

x  =   ±  i.

Das Zeichen i steht für eine bestimmte Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist – genauso wie Wurzel2 für eine Zahl steht, deren Quadrat gleich 2 ist, wie 1/2 für eine Zahl steht, deren Kehrwert gleich 2 ist und wie -1 für eine Zahl steht, deren Negatives gleich 1 ist.

Definition:  Eine Zahl der Form bi, wobei b eine reelle Zahl ist, heißt imaginäre Zahl. Eine Zahl der Form a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind, heißt komplexe Zahl. Die Zahl a heißt Realteil, die Zahl b heißt Imaginärteil der komplexen Zahl a + bi. Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit komplexe Zahlen bezeichnet.

 

Auch die komplexen Zahlen komplexe Zahlen bilden einen Körper.

Die komplexen Zahlen enthalten die reellen Zahlen als Teilmenge, denn jede reelle Zahl a lässt sich als komplexe Zahl a + 0i auffassen.

Beispiel:  Folgende Zahlen sind komplexe Zahlen:

3 + 5i 
7,2 + 102,15i 
16 - 2,8i 
-19 - 6i 
0 + 1i= i
17 + 0i= 17
0 + 0i= 0

 

 

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