Mathematik

Stetigkeit

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Intervall

Ein Intervall ist eine zusammen­hängende Teilmenge von reelle Zahlen. Anschaulich ist ein Intervall eine zusammen­hängende Menge von Punkten auf der Zahlengeraden (Bild 1).

Ein Intervall
Bild 1:  Ein Intervall

Definition:  Seien u, v Element reelle Zahlen. Dann sind folgende Mengen Intervalle:

(u, v)  =  { x  |  u < x < v }

[u, v]  =  { x  |  u <= x <= v }

[u, v)  =  { x  |  u <= x < v }

(u, v]  =  { x  |  u < x <= v }

Das erste Intervall ist ein offenes Intervall, das zweite Intervall ist ein abge­schlossenes Intervall. Die anderen beiden Intervalle sind halboffene Intervalle.

 

Umgebung

Definition:  Sei z Element reelle Zahlen. Ein offenes Intervall A = (u, v) mit z Element A heißt offene Umgebung von z.

Eine Menge U heißt Umgebung von z, wenn sie eine offene Umgebung von z enthält.

Eine Umgebung von z
Bild 2:  Eine Umgebung von z

Eine Umgebung von z besteht also aus einer offenen Umgebung von z plus möglicherweise noch weiteren Elementen.

 

Bild einer Menge

Definition:  Sei  f : D Pfeil reelle Zahlen eine Funktion mit dem Definitions­bereich D enthalten reelle Zahlen.

Sei A enthalten reelle Zahlen. Das Bild f(A) dieser Menge ist wie folgt definiert:

 f(A) = { f(x)  |  x Element A Durchschnitt D }.

Die Menge f(A) besteht also aus den Bildern aller Elemente x Element A, aber natürlich nur, soweit diese x auch im Definitions­bereich der Funktion liegen (Bild 3).

Bild der Menge A
Bild 3:  Bild der Menge A

 

Stetigkeit

Sei wiederum  f : D Pfeil reelle Zahlen und x Element D, also ein Punkt auf der x-Achse, der im Definitions­bereich der Funktion liegt. Wir definieren nun, wann die Funktion stetig im Punkt x ist.

Definition:  Die Funktion f ist stetig im Punkt x, wenn zu jeder (beliebig kleinen) Umgebung B um f(x) es eine Umgebung A um x gibt mit

 f(Aenthalten B.

Folgendes Bild 4 zeigt links eine Funktion, die im Punkt x stetig ist. Ganz gleich wie die Umgebung B gewählt wird, immer gibt es eine Umgebung A, derart dass f(A) innerhalb von B liegt (rot gekennzeichnet).

Rechts ist eine Funktion dargestellt, die im Punkt x nicht stetig ist. Zur dargestellten Umgebung B gibt es keine Umgebung A, ganz gleich wie klein diese auch gewählt wird, derart dass f(A) innerhalb von B liegt. Immer liegt ein Teil von f(A) außerhalb von B.

Wichtig ist hierbei, dass die Umgebung A eine offene Umgebung enthält -- die Umgebung um x darf nicht ein Intervall (u, x] sein, das bei x abge­schlossen ist.

In x stetige Funktion (links) und in x nicht stetige Funktion (rechts)
Bild 4:  In x stetige Funktion (links) und in x nicht stetige Funktion (rechts)

Definition:  Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitions­bereichs stetig ist.

Die meisten Funktionen, die als Kurven gezeichnet werden können, sind stetig. Es gibt aber auch Funktionen, die nirgendwo stetig sind.

Beispiel:  Die DirichletBiografie-Funktion d mit

d(x)  =   geschweifte Klammer
1    wenn x rational ist
0    wenn x irrational ist

ist in jedem Punkt unstetig.

 

 

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