Quadratwurzel iterativ berechnen

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Das schriftliche Wurzelziehen, wie es in der Schule gelehrt wird (die Zahl in Zweier­gruppen aufteilen usw.), ist für eine Implementation als Computer­programm zu umständlich. Wir Menschen ermüden schnell, wenn wir immer und immer wieder dasselbe tun sollen, für den Computer dagegen ist es die Lieblings­beschäftigung! Die Rede ist von sogenannten Iterations­verfahren, also Rechen­verfahren, die eine bestimmte Berechnung so lange wiederholen, bis das Ergebnis erzielt worden ist.

Im Folgenden wird ein Iterations­verfahren zur Berechnung der Quadrat­wurzel angegeben.

Iterationsverfahren

Gegeben ist eine nicht­negative Zahl f, gesucht ist die Quadrat­wurzel Wurzelf. Das folgende Iterations­verfahren wurde bereits in der Antike von Heronzur Person beschrieben.

Das Iterations­verfahren beginnt mit einem Rechteck mit den Seitenlängen a = 1 und b = f und macht aus dem Rechteck schrittweise ein Quadrat mit der Seitenlänge Wurzelf.

In jedem Iterations­schritt bleibt die Fläche f des Rechtecks gleich: a · b = f.

Solange die Seiten unter­schiedlich lang sind, wird Folgendes durchgeführt:

  1. a an b angleichen, wobei der neue Wert von a sich als Mittelwert von a und b ergibt:

    a = (a' + b') / 2

  2. anschließend b neu berechnen, und zwar als

    b = f / a

Mit a' und b' sind hier die vorherigen Werte von a und b bezeichnet, mit a und b die im nächsten Iterations­schritt neu berechneten Werte.

Das Verfahren wird abgebrochen, wenn eine ausreichende Genauigkeit erzielt ist, also z.B. wenn a und b sich um weniger als 10-12 unter­scheiden.

 

Folgendes Bild zeigt die ersten Iterations­schritte des Verfahrens für ein Rechteck mit der Fläche f = 2.

Iterative Berechnung der Wurzel aus 2
Bild 1: Iterative Berechnung von Wurzel2

 

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