Eigenschaften von Primzahlen

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Abstand zwischen aufeinander­folgenden Primzahlen

Satz:  Der Abstand zwischen zwei aufeinander­folgenden Primzahlen kann beliebig groß werden.

Beweis:  Die Zahlen n! + 2, n! + 3, ..., n! + n sind alle keine Primzahlen, denn n! ist durch 2 teilbar, also ist es n! + 2 auch; n! ist durch 3 teilbar, also ist es n! + 3 auch usw. Schließlich ist n! + n durch n teilbar, also ist es n! + n auch.

Der Abstand zwischen der letzten Primzahl vor n! + 2 und der ersten Primzahl nach n! + n beträgt also mindestens n.

Da n beliebig groß werden kann, gibt es auch einen beliebig großen Abstand zwischen zwei aufeinander­folgenden Primzahlen.

Beispiel:  Sei n = 5, also n! = 120. Dann sind die 5 Zahlen 122, 123, 124, 125, 126 keine Primzahlen.

 

Unendlich viele Primzahlen

Satz:  Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis:  Angenommen, die Menge P der Primzahlen sei endlich, also P  =  {p1, ..., pk} mit k Element natürliche Zahlen0.

Sei nun m das Produkt aller dieser Primzahlen:

m  =  p1 · ... · pk

und sei

n  =  m + 1.

Dann ist n > 1. Sei d ein Primfaktor von n, d.h. d Element P und d | n. Dann gilt

 

d | n 
 folgt d  |  m + 1 
 folgt d  |  1 (da  d | m  mit  m = p1 · ... · pk)
 folgt d = 1 
 folgt d nicht Element P 

Dies ist ein Widerspruch dazu, dass d Element P gilt; also ist die Annahme falsch.

 

Etwas einfacher ist noch folgender Beweis:

Beweis:  Angenommen, n sei die größte Primzahl. Dann bilden wir die Zahl z = n! + 1. Diese Zahl z ist größer als n und damit zusammengesetzt. Sei nun d ein Primfaktor von z, d.h. d | z und d prim. Da d prim, gilt d<=n und damit d | n!.

Somit gilt

d  |  z 
 folgt d  |  n! + 1 
 folgt d  |  1 (da  d | n!)
 folgt d = 1 

Dies ist ein Widerspruch dazu, dass d prim ist; also ist die Annahme falsch.

 

 

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