Mathematik

Abbildung, Funktion

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Definition

Eine Abbildung ist eine Menge von Paaren (x, y), wobei x aus einer Menge X und y aus einer Menge Y stammt.

Handelt es sich um Zahlenpaare, so sind die Mengen X und Y meist die reellen Zahlen reelle Zahlen. Dann spricht man statt von einer Abbildung auch von einer Funktion.

Nun ist allerdings nicht jede Menge von Paaren (x, y) eine Abbildung. Es müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

1) Für jedes Element x aus X gibt es mindestens ein Paar (x, y)
2) Für jedes Element x aus X gibt es höchstens ein Paar (x, y)

Zusammen­genommen ergeben diese beiden Bedingungen

1+2) Für jedes Element x aus X gibt es genau ein Paar (x, y)

Jede Menge von Paaren, die diese beiden Bedingungen 1 und 2 erfüllt, ist eine Abbildung.

Die Vorstellung bei einer Abbildung ist, dass jeweils x auf y abgebildet wird. Die Bedingungen besagen, dass jedes x aus X auf genau ein y abgebildet werden muss. Es darf kein x geben, das überhaupt nicht abgebildet wird, und es darf kein x geben, das auf mehrere verschiedenene y abgebildet wird.

Bildlich dargestellt werden kann ein Paar (x, y) durch einen Pfeil von x nach y (Bild 1).

Element x wird auf Element y abgebildet
Bild 1:  Element x wird auf Element y abgebildet

In Bild 2 sind Situationen dargestellt, die bei einer Abbildung nicht auftreten dürfen. Das Element x0 aus der Menge X wird nicht abgebildet, und das Element x1 aus der Menge X wird auf zwei verschiedene Elemente abgebildet.

Nicht zulässige Situationen bei einer Abbildung von X nach Y
Bild 2:  Nicht zulässige Situationen bei einer Abbildung von X nach Y

Auf die bildliche Darstellung bezogen lassen sich die beiden Bedingungen für eine Abbildung wie folgt formulieren:

1) Von jedem Element von X muss mindestens ein Pfeil ausgehen
2) Von jedem Element von X darf höchstens ein Pfeil ausgehen

Zusammen­genommen ergibt dies

1+2) Von jedem Element von X muss genau ein Pfeil ausgehen

Über die Elemente von Y wird nichts gesagt. Es kann Elemente von Y geben, bei denen kein Pfeil ankommt, und es kann Elemente von Y geben, bei denen mehrere Pfeile ankommen. Dies ist zulässig und auch typisch für Abbildungen im allgemeinen.

 

Benennung

Da es verschiedene Abbildungen bzw. Funktionen gibt, ist es erforderlich, sie zu benennen, um sie auseinander­halten zu können.

In der Praxis stößt man auf Benennungen wie

Wir erinnern uns, dass eine Abbildung bzw. Funktion eine Menge von Paaren ist. Welche Mengen von Paaren werden nun durch die oben bezeichneten Abbildungen dargestellt?

Der erste Fall besagt nichts anderes, als dass eine bestimmte Menge von Paaren (x, y) mit f bezeichnet wird:

 f = { (x, y) }

Um welche Paare genau es sich handelt, wird hierbei nicht gesagt. Die Schreibweise y = f(x) ist gleich­bedeutend mit (x, yElement f.

 

Im zweiten Fall ist eine konkrete Menge von Paaren gemeint, nämlich die Menge aller Paare (x, y) mit der Eigenschaft, dass y = x2 ist:

{ (x, y)  |  y = x2 }

Diese Menge enthält z.B. die Paare (3, 9), (4, 16), aber auch (-5, 25), (0, 0), (1.5, 2.25), (0.1, 0.01), (Wurzel2, 2), ..., insgesamt unendlich viele.

 

Im dritten Fall ist die Menge aller Paare (n, n+1) mit n Element natürliche Zahlen gemeint:

{ (n, n+1) }  =  { (1, 2), (2, 3), (3, 4), ... }

 

Wichtig ist, so unter­schiedlich die Bezeichnungs­weisen auch sein mögen, sich immer wieder folgendes klarzumachen: Eine Funktion ist immer eine Menge von Paaren, und nichts anderes.

D.h. wenn etwa gesagt wird, dass y = x2 eine Funktion sei, so stimmt dies genau genommen nicht, sondern y = x2 ist höchstens die Funktions­gleichung der Funktion. Die Funktion selber ist die Menge aller Zahlenpaare (x, y), die die Funktions­gleichung erfüllen.

 

Wertetabelle

Eine Wertetabelle einer Funktion ist eine Auflistung genau dieser Zahlenpaare (x, y) der Funktion. Da es aber meistens unendlich viele dieser Zahlenpaare gibt, werden in die Wertetabelle nur einige davon aufgelistet. Als Beispiele sind im Folgenden Wertetabellen für die Abbildungen n wird zugeordnet n+1 und y = x2 angegeben.

n n+1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
 
x y
-1 1
-0.5 0.25
0 0
0.5 0.25
1 1
2 4
Bild 3:  Wertetabellen für zwei Funktionen

 

Grafische Darstellung von Funktionen

Hat man ein Koordinaten­kreuz, so entspricht jedem Zahlenpaar (x, y) ein Punkt in der Zeichenebene.

Eine Funktion ist eine Menge von Zahlenpaaren. Um die Funktion grafisch darzustellen, wird für jedes dieser Zahlenpaare der entsprechende Punkt in die Zeichenebene gezeichnet.

Um beispielsweise die Funktion mit der Funktions­gleichung y = x2 grafisch darzustellen, wird ein Punkt für das Zahlenpaar (3, 9) gezeichnet, einer für (4, 16), weitere für (-5, 25), (0, 0), (1.5, 2.25), (0.1, 0.01), (Wurzel2, 2) usw. – insgesamt unendlich viele. Da die Punkte sehr dicht beieinander­liegen, entsteht eine Linie oder Kurve (Bild 4).

Grafische Darstellung der Funktion mit der Gleichung y = x2
Bild 4:  Grafische Darstellung der Funktion mit der Gleichung y = x2

Die meisten in der Praxis vorkommenden Funktionen ergeben in der grafischen Darstellung derartige Kurven. Die Definition des Begriffs Funktion verlangt jedoch nicht, dass die Funktion sich als Kurve darstellen lässt. Tatsächlich können die Punkte, die den Zahlenpaaren der Funktion entsprechen, genausogut wirr über die Zeichenebene verteilt sein. Ein Beispiel ist die DirichletBiografie-Funktion d:

d(x)  =   geschweifte Klammer
1    wenn x rational ist
0    wenn x irrational ist

 

 

 

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