Flächeninhalt eines Dreiecks

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Normalerweise wird der Flächeninhalt eines Dreiecks nach der Formel Grundlinie mal Höhe / 2 berechnet. Oft sind allerdings diese Größen nicht bekannt; beispielsweise sind nur die Eckpunkte des Dreiecks gegeben oder nur die Seitenlängen. Dann lassen sich die folgenden Formeln anwenden.

 

Eckpunkte gegeben

Gegeben sind die drei Eckpunkte P1, P2, P3 des Dreiecks im positiven Umlaufsinn. Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks. Im folgenden Bild ist zu sehen, dass sich die Dreiecksfläche als Summe von drei Trapezflächen ergibt.

Dreiecksfläche als Summe von drei Trapezflächen
Bild 1:  Dreiecksfläche als Summe von drei Trapezflächen

Der Flächeninhalt des gelben Trapezes ist

A1,2   =   (x1 – x2)  ·  
(y1 + y2)
2

Auf dieselbe Art und Weise ausgerechnet, ergibt sich der Flächeninhalt des grünen Trapezes als

A2,3   =   (x2 – x3)  ·  
(y2 + y3)
2

Der Flächeninhalt ist negativ, weil x2 < x3 ist. Der Flächeninhalt des orangenen Trapezes ist ebenfalls negativ.

 

Der Flächeninhalt A des Dreiecks ergibt sich also als Summe aller drei Trapeze:

A   =   A1,2 + A2,3 + A3,1   =   
(x1 – x2)·(y1 + y2)  +  (x2 – x3)·(y2 + y3)  +  (x3 – x1)·(y3 + y1)
2

Man bildet also die Differenzen der x-Werte aufeinander­folgender Punkte und multipliziert diese mit den Summen der zugehörigen y-Werte, das ganze einmal um das Dreieck herum. Wichtig ist dabei, dass die Eckpunkte im positiven Umlaufsinn bezeichnet sind.

Die Formel ist auch dann gültig, wenn die Eckpunkte des Dreiecks nicht, wie hier, alle oberhalb der x-Achse liegen. Außerdem lässt sich die Formel auch für beliebige Vielecke ver­allgemeinern.

 

Aufgabe 1:  Gegeben sind folgende Eckpunkte eines Dreiecks:

P1 = (-3, -1),   P2 = (4, -2),   P3 = (2, 6)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.

Lösung:     

 

Seitenlängen gegeben

Gegeben sind die drei Seitenlängen a, b, c des Dreiecks. Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks. Der Flächeninhalt A lässt sich nach der Formel von Heronzur Person berechnen:

A   =   Wurzels·(s – a)·(s – b)·(s – c)

wobei

s   =   
a + b + c
2

der halbe Umfang des Dreiecks ist.

 

Aufgabe 2:  Gegeben sind folgende Seitenlängen eines Dreiecks:

a = 3,   b = 4,   c = 5

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.

Lösung:     

 

 

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