Dreisatz (mehrfache Proportionalität)

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Problem

Für 10 Stunden Arbeit bekommen 3 Arbeiter insgesamt 600 Euro. Wieviel Euro bekommen 8 Arbeiter für 5 Stunden Arbeit? (Vorausgesetzt ist ein fester Stundenlohn).

 

Ansatz

Schritt 1

Als erstes schreiben wir die Zahlen in ein Schema:

Für 10 Stunden bekommen 3 Arbeiter insgesamt 600 Euro
Für 5 Stunden bekommen 8 Arbeiter insgesamt x Euro

Wichtig ist dabei, dass jeweils gleiche Größen übereinander stehen: Stunden müssen über Stunden stehen, Arbeiter über Arbeitern, Euro über Euro.

Da es nur auf die Zahlen ankommt, schreiben wir dasselbe Schema nur mit Zahlen:

10  entspricht  3  entspricht  600
5  entspricht  8  entspricht  x

 

Lösung

Schritt 2

Als nächstes stellen wir fest, ob die beteiligten Größen, nämlich Stunden, Arbeiter und Euro, in direkt proportionalen oder in umgekehrt proportionalen Verhältnissen zueinander stehen. Hierzu halten wir zunächst die dritte Größe fest. Dann sind die beiden ersten Größen umgekehrt proportional zueinander: je mehr Stunden gearbeitet wird, desto weniger Arbeiter können bezahlt werden (bei fester Lohnsumme). Dann halten wir die erste Größe fest. Die beiden zweiten Größen sind direkt proportional: je mehr Arbeiter arbeiten, desto mehr Lohn erhalten sie insgesamt (bei fester Stundenzahl).

Schritt 3

Wir multiplizieren also bei umgekehrter Proportionalität waagerecht und bei direkter Proportionalität überkreuz. Das Produkt der drei gelb markierten Zahlen muss gleich dem Produkt der drei blau markierten Zahlen sein:

Multiplikation bei einmal umgekehrter und einmal direkter Proportionalität
Bild 1:  Multiplikation bei einmal umgekehrter und einmal direkter Proportionalität

In diesem Beispiel muss also gelten:

 10 · 3 · x    =    5 · 8 · 600 .

Das Ergebnis, die gesuchte Zahl x, finden wir also, indem die Gleichung nach x auflösen:

x   =   
5 · 8 · 600
10 · 3

Der Bruch lässt sich kürzen, das Ergebnis ist 800:

x   =    5 · 8 · 20    =    800

Schritt 4

Wir formulieren die Lösung in Worten als Antwort auf die Frage, die in der Aufgabe gestellt worden ist:

"8 Arbeiter bekommen für 5 Stunden Arbeit insgesamt 800 Euro."

 

Probe

Schritt 5

Zur Probe schauen wir ganz grob, ob das Ergebnis richtig sein kann. Die 600 Euro werden für 30 Arbeitsstunden bezahlt, also 20 Euro pro Arbeitsstunde. Somit kosten 40 Arbeitsstunden 800 Euro. Wir haben also richtig gerechnet.

 

 

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