Dreisatz (umgekehrte Proportionalität)

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Problem

Um einen Graben auszuheben, brauchen 3 Arbeiter 10 Stunden. Wie lange brauchen 5 Arbeiter?

Das Problem lässt sich in 5 Schritten lösen.

 

Ansatz

Schritt 1

Als erstes schreiben wir die Zahlen in ein Schema:

3 Arbeiter brauchen 10 Stunden
5 Arbeiter brauchen x Stunden

Der Buchstabe x steht für die unbekannte, die gesuchte Zahl.

Wichtig ist dabei, dass jeweils gleiche Größen übereinander stehen: Arbeiter müssen über Arbeitern stehen, Stunden müssen über Stunden stehen.

Da es nur auf die Zahlen ankommt, schreiben wir dasselbe Schema nur mit Zahlen:

3  entspricht  10
5  entspricht  x

Das Zeichen entspricht bedeutet "entspricht".

 

Lösung

Schritt 2

Als nächstes stellen wir fest, ob die beiden Größen, nämlich Arbeiter und Stunden, in direkt proportionalem oder in umgekehrt proportionalem Verhältnis zueinander stehen. Hier sind die beiden Größen umgekehrt proportional: je mehr Arbeiter, desto weniger Stunden.

Schritt 3

Bei umgekehrter Proportionalität muss sich jeweils dasselbe ergeben, wenn waagerecht multipliziert wird. Das Produkt der beiden gelb markierten Zahlen muss gleich dem Produkt der beiden blau markierten Zahlen sein:

Multiplikation bei umgekehrter Proportionalität
Bild 1:  Multiplikation bei umgekehrter Proportionalität

In diesem Beispiel muss also gelten:

 3 · 10    =    5 · x .

Das Ergebnis, die gesuchte Zahl x, finden wir also, indem die Gleichung nach x auflösen:

x   =   
3 · 10
5

Der Bruch lässt sich kürzen, das Ergebnis ist 6:

x   =    3 · 2    =    6

Schritt 4

Wir formulieren die Lösung in Worten als Antwort auf die Frage, die in der Aufgabe gestellt worden ist:

"Zum Ausheben des Grabens brauchen 5 Arbeiter 6 Stunden."

 

Probe

Schritt 5

Zur Probe schauen wir ganz grob, ob das Ergebnis richtig sein kann. Da 5 Arbeiter fast doppelt soviele sind wie 3 Arbeiter, brauchen sie nur etwas mehr als halb so lange. Tatsächlich ist 6 etwas mehr als die Hälfte von 10. Wir haben also wohl richtig gerechnet.

 

 

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