Dreisatz (direkte Proportionalität)

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Mit dem Dreisatz lassen sich Aufgaben wie "2 kg Mehl kosten 1,50 Euro, was kosten 3 kg?" bearbeiten. Die Bezeichnung "Dreisatz" kommt daher, dass die Aufgabe üblicherweise in drei Sätzen formuliert und bearbeitet wird:

Hierbei wird ausgerechnet, was 1 kg kosten, obwohl danach gar nicht gefragt ist. Wir wollen in der folgenden schematischen Methode diese Berechnung überspringen und gleich das Endergebnis berechnen.

 

Problem

In 500 Gramm Kuchenteig kommen 75 Gramm Rosinen. Dann kommen in 300 Gramm Kuchenteig wieviel Gramm Rosinen?

Das Problem lässt sich in fünf Schritten lösen. Die ersten beiden Schritte sind leicht, der dritte Schritt ist etwas schwerer, weil er die eigentliche Berechnung enthält, und die beiden letzten Schritte sind wieder leicht.

 

Ansatz

Schritt 1

Als erstes schreiben wir die Zahlen in ein Schema:

In 500 Gramm Kuchenteig kommen 75 Gramm Rosinen
In 300 Gramm Kuchenteig kommen x Gramm Rosinen

Der Buchstabe x steht für die unbekannte, die gesuchte Zahl.

Wichtig ist dabei, dass jeweils gleiche Größen übereinander stehen: Kuchenteig muss über Kuchenteig stehen, Rosinen müssen über Rosinen stehen.

Da es nur auf die Zahlen ankommt und nicht darauf, ob es Kuchenteig und Rosinen oder Mörtel und Zement sind, schreiben wir dasselbe Schema nur mit Zahlen:

500  entspricht  75
300  entspricht  x

Das Zeichen entspricht bedeutet "entspricht": Der Menge von 500 Gramm Teig entspricht die Menge von 75 Gramm Rosinen, der Menge 300 Gramm Teig entspricht die gesuchte Menge x Gramm Rosinen.

 

Lösung

Schritt 2

Als nächstes stellen wir fest, ob die beiden Größen, nämlich Kuchenteig und Rosinen, in direkt proportionalem oder in umgekehrt proportionalem Verhältnis zueinander stehen. Hier sind die beiden Größen direkt proportional: je mehr Kuchenteig, desto mehr Rosinen.

Schritt 3

Bei direkter Proportionalität muss sich jeweils dasselbe ergeben, wenn überkreuz multipliziert wird. Das Produkt der beiden gelb markierten Zahlen muss gleich dem Produkt der beiden blau markierten Zahlen sein:

Multiplikation bei direkter Proportionalität
Bild 1:  Multiplikation bei direkter Proportionalität

In diesem Beispiel muss also gelten:

 500 · x    =    300 · 75 .

Das Ergebnis, die gesuchte Zahl x, finden wir also, indem die Gleichung nach x auflösen:

x   =   
300 · 75
500

Der Bruch lässt sich durch Kürzen vereinfachen, das Ergebnis ist 45:

x   =   
300 · 75
500
   =   
3 · 75
5
   =   3 · 15    =    45
Schritt 4

Wir formulieren die Lösung in Worten als Antwort auf die Frage, die in der Aufgabe gestellt worden ist:

"In 300 Gramm Kuchenteig kommen 45 Gramm Rosinen."

 

Probe

Schritt 5

Zur Probe schauen wir ganz grob, ob das Ergebnis richtig sein kann. Da 300 Gramm Teig weniger sind als 500 Gramm Teig, brauchen wir auch weniger Rosinen. Und tatsächlich sind 45 Gramm Rosinen weniger als 75 Gramm Rosinen.

Außerdem sind 300 Gramm mehr als die Hälfte von 500 Gramm (das wären 250 Gramm), aber nicht viel mehr. Entsprechend sind 45 Gramm auch mehr als die Hälfte von 75 Gramm (das wären 37,5 Gramm), aber nicht viel mehr. Wir haben also wohl richtig gerechnet.

 

 

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