Kryptografische Protokolle

Diffie-Hellman-Schlüsselvereinbarung mit elliptischer Kurve

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Die klassische Diffie-Hellman-Schlüssel­vereinbarung legt die multi­plikative Gruppe ganze Zahlenn* mit n Primzahl zugrunde. Das Diffie-Hellman-Protokoll auf Basis elliptischer Kurven legt stattdessen die Gruppe der Punkte einer elliptischen Kurve über dem endlichen Körper ganze Zahlenn mit n Primzahl und n>3 zugrunde.

In der Gruppe der Punkte einer elliptischen Kurve ist in bestimmter Weise eine Verknüpfung zwischen den Punkten definiert. Im Diffie-Hellman-Protokoll wird die u-malige Verknüpfung eines Punktes g mit sich selbst verwendet; wir fassen die Verknüpfung multi­plikativ auf und schreiben hierfür gu, in Analogie zum klassischen Diffie-Hellman-Protokoll. 1)

Protokoll

Zu Beginn tauschen die Kommunikationspartner A und B öffentlich eine elliptische Kurve E und einen Basispunkt g Element E aus. Im Verlauf des Protokolls werden Punkte a, b, k Element E berechnet.

   
         A C          B
 Elliptische Kurve E
Punkt g Element E
 
wählt
   Zufallszahl u
  wählt
   Zufallszahl v
berechnet
   a = gu
  berechnet
   b = gv
  
berechnet
   bu  =  gvu  =  k
  berechnet
   av  =  guv  =  k
   
   
Bild 1: Diffie-Hellman-Schlüsselvereinbarung auf Basis einer elliptischen Kurve

Der Punkt k kann nunmehr den Kommunikationspartnern A und B als gemeinsamer Schlüssel dienen. Sind die verwendeten Zahlen groß genug, so kann aus der Kenntnis von a sowie E und g nicht u berechnet werden, jedenfalls nicht mit vertretbarem Aufwand (Problem des diskreten Logarithmus elliptischer Kurven – Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem ECDLP). Ein Dritter C kann somit nicht k = bu berechnen.


1)  In der Literatur wird die Verknüpfung von Punkten einer elliptischen Kurve meist additiv aufgefasst, so dass die u-malige Verknüpfung eines Punktes g mit sich selbst dann als g·u geschrieben wird.

 

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