Computergrafik

Skalarprodukt

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Gegeben sind zwei Vektoren a und b im reelle Zahlen3. Mit dem Skalar­produkt wird ein Skalar (eine Zahl) s = a · b mit s Element reelle Zahlen berechnet.

Im Gegensatz zum Vektor­produkt ist das Ergebnis der Multi­plikation also nicht wieder ein Vektor, sondern ein Skalar, also eine Zahl.

Definition

Das Skalar­produkt a · b wird wie folgt berechnet.

Definition:  Es seien a und b Vektoren des reelle Zahlen3.

a = eckige Klammer auf
a0
a1
a2
eckige Klammer zu
 
b = eckige Klammer auf
b0
b1
b2
eckige Klammer zu

Dann ist s = a · b definiert durch

s   =   a0·b0  +  a1·b1  +  a2·b2

 

Die Vektoren werden also komponenten­weise multipliziert und die Ergebnisse addiert.

Eigenschaften

Das Skalar­produkt hat im reelle Zahlen3 den Wert

a · b   =   |a| · |b| · cos(α),

wobei α der Winkel zwischen den Vektoren a und b ist. Mithilfe des Skalar­produkts lässt sich somit der Winkel α zwischen zwei Vektoren a und b bestimmen, denn es ist

cos(α)  =  
a · b
|a| · |b|

Das Skalar­produkt s = a · b ist genau dann gleich Null, wenn die Vektoren a und b senkrecht aufeinander stehen.

Auch der Betrag |a| eines Vektors a lässt sich mithilfe des Skalar­produkts berechnen, denn es ist

a · a   =   |a| · |a| · 1

und damit

|a|  =  Wurzela · a

Rechenregeln

Die Rechenregeln für das Skalar­produkt im reelle Zahlen3 entsprechen den allgemeinen Rechenregeln für Skalar­produkte in Vektorräumen; diese sind im Folgenden noch einmal aufgeführt.

Für alle a, b, c Element reelle Zahlen3 und k Element reelle Zahlen gilt

Anwendungen

Die Länge l der Projektion eines Vektors a auf einen Vektor b ergibt sich aus der Beziehung

l
|a|
  =  cos(α)

Durch Einsetzen für cos(α) ergibt sich

l
|a|
  =  
a · b
|a| · |b|

und damit

l  =  
a · b
|b|
  =  a · 
b
|b|
  =  a · b'

d.h. l lässt sich als das Skalar­produkt des Vektors a mit dem normierten Vektor b' berechnen.

Der Vektor selbst, der bei Projektion von a auf b entsteht, ergibt sich, indem b' mit der Länge l multipliziert wird.

Ausprobieren

Skalar­produkt

a  b  s
     
 ·      =    
     

 

 

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