Computergrafik

Abstand zweier Geraden

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Zwei Geraden im reelle Zahlen3 seien in Punkt-Richtungs-Form als p + λu und q + μv gegeben. Gesucht ist der Abstand der beiden Geraden.

Zunächst wird der Differenzvektor

d  =  p  –  q

der beiden Punkt­vektoren p und q und das Vektor­produkt

w = u  ×  v

der beiden Richtungs­vektoren u und v gebildet

Ist das Ergebnis w der Nullvektor, so sind die beiden Geraden kollinear, ansonsten sind sie nicht kollinear. Bei der Berechnung des Abstands werden diese beiden Fälle unter­schieden.

Kollineare Geraden

Als erstes normieren wir den Richtungs­vektor u:

u'  =   u / |u|

Der Ergebnis­vektor u' hat den Betrag 1.

Dann berechnen wir die Fläche des Parallelo­gramms, das von u' und dem Differenzvektor d aufgespannt wird. Dies tun wir, indem wir das Vektor­produkt

c  =  u'  ×  d

bilden und den Betrag f von c ermitteln:

f  =  |c|

Da die eine Seite des Parallelo­gramms (nämlich u') die Länge 1 hat, ist die Fläche f des Parallelo­gramms dem Zahlenwert nach gleich seiner Höhe, und diese ist gleich dem gesuchten Abstand der beiden Geraden.

Nicht kollineare Geraden

Wir haben bereits das Vektor­produkt w = u  ×  v der beiden Richtungs­vektoren gebildet und normieren dieses:

w'  =   w / |w|

Dann berechnen wir das Skalar­produkt

s  =  d·w'

Damit haben wir die Länge der Projektion von d auf w berechnet; dies ist der gesuchte Abstand der beiden Geraden.

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Gerade gGerade h
p  u
  
    +   λ   
  
 
q  v
  
    +   μ   
  
Abstand: 

 

 

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