Mathematische Grundlagen

Vektorraum

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Vektorraum

Ein Vektorraum V über einem Körper K ist im Wesentlichen eine Menge, deren Elemente man addieren und mit den Elementen von K multiplizieren kann. Die Elemente von V heißen Vektoren; die Elemente von K werden im Zusammenhang mit dem Vektorraum Skalare genannt.

Definition:  Sei K ein Körper. Eine Menge V heißt Vektorraum über K, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Wir verwenden dasselbe Zeichen + für die Addition in K wie auch für die Addition in V, ebenso dasselbe Zeichen · für die Multiplikation in K wie auch für die Multiplikation zwischen K und V. Auch die 0 bezeichnet einerseits das Nullelement 0 Element K und andererseits den Nullvektor 0 Element V.

Beispiel:  Die Menge der Paare (a, b) mit a, b Element K ist ein Vektorraum über K, d.h. V = K × K.

Hierbei sind die Addition in V und die Multiplikation zwischen K und V komponentenweise definiert:

(a, b) + (c, d)  =  (a+c, b+d)     und

k·(a, b)  =  (k·a, k·b)

für alle (a, b), (c, dElement V sowie k Element K. Der Nullvektor ist (0, 0).

Allgemein ist auch Kn ein Vektorraum über K, also z.B. reelle Zahlen3 über reelle Zahlen oder boolesche Werten über boolesche Werte.

Ferner ist die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus K ein Vektorraum über K.

Die Menge aller Abbildungen von einer nichtleeren Menge M in K ist ein Vektorraum über K.

Satz:  (Rechenregeln in V)

Es gilt für alle v Element V und k Element K:

v  =  0,

k·0  =  0,

(-1)·v  =  -v.

Beweis:  Es gilt

v  =  (0+0)·v  =  0·v + 0·v| -(0·v)

0  =  0·v

Ebenso gilt

k·0  =  k·(0+0)  =  k·0 + k·0| -(k·0)

0  =  k·0

Teilraum

Wenn eine Teilmenge U eines Vektorraums V für sich genommen die Vektorraumaxiome erfüllt, bildet sie einen Teilraum von V. Dies ist bereits dann der Fall, wenn sie hinsichtlich der Addition von Vektoren und Multiplikation mit Elementen des Körpers abgeschlossen ist.

Definition:  Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Eine Teilmenge U enthalten in V heißt Teilraum von V, wenn gilt

u + v  Element  U   für alle u, v Element U,

k·u  Element  U   für alle u Element U, k Element K.

Beispiel:  Die Menge aller Paare (a, 0) bildet einen Teilraum von reelle Zahlen2. Die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich3 ist ein Teilraum des Vektorraums aller Polynome.

Linearkombination

Definition:  Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und T eine Teilmenge von V. Ein Vektor u heißt Linearkombination von T, wenn es endliche viele Vektoren v1, ..., vm Element T und Koeffizienten k1, ..., km Element Km Element natürliche Zahlen0 gibt mit

u  =  k1·v1 +  ... + km·vm.

Die Menge aller Linearkombinationen von T wird als das Erzeugnis spitze Klammer aufTspitze Klammer zu von T bezeichnet.

Beispiel:  Der Vektor (3, 5) Element reelle Zahlen2 ist eine Linearkombination von T = {(1, 0),  (0, 1)}, denn

(3, 5)  =  3·(1, 0) + 5·(0, 1).

Tatsächlich wird sogar reelle Zahlen2 von T erzeugt

reelle Zahlen2  =  spitze Klammer aufTspitze Klammer zu,

denn jeder Vektor (a, bElement reelle Zahlen2 ist Linearkombination von T:

(a, b)  =  a·(1, 0) + b·(0, 1).

Wir lassen bei der Definition des Begriffs Linearkombination auch den Fall m = 0 zu. Das Ergebnis einer Summation von 0 Summanden ist der Nullvektor. Der Nullvektor ist also stets Linearkombination einer beliebigen Menge T.

Ist T =  leere Menge , so ist der Nullvektor die einzig mögliche Linearkombination. Es ist also spitze Klammer auf leere Menge spitze Klammer zu = {0}.

Satz:  Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und T eine Teilmenge von V. Dann ist das Erzeugnis spitze Klammer aufTspitze Klammer zu ein Teilraum von V.

Beweis:  Es ist zu zeigen, dass spitze Klammer aufTspitze Klammer zu hinsichtlich Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.

Seien u, v Element spitze Klammer aufTspitze Klammer zu. Dann sind u und v Linearkombinationen von T :

u  =  j1·u1 +  ... + jm·um     mit   ui Element T,   ji Element K,

v  =  k1·v1 +  ... + kn·vn    mit   vi Element T,   ki Element K.

Damit ist aber auch u + v Linearkombination von T und damit Element von spitze Klammer aufTspitze Klammer zu:

u + v  =  j1·u1 +  ... + jm·um + k1·v1 +  ... + kn·vn.

Gleiches gilt für k·u mit k Element K:

k·u  =  (k·k1u1 +  ... + (k·kmum.

Basis

Definition:  Sei T eine Teilmenge eines Vektorraums V über einem Körper K. Die Menge T heißt linear abhängig, wenn der Nullvektor als Linearkombination von T dargestellt werden kann, wobei mindestens ein Koeffizient ki ungleich 0 ist.
D.h. es gibt Vektoren v1, ..., vm Element T und Koeffizienten k1, ..., km, wobei m Element natürliche Zahlen und mindestens ein ki ≠ 0, sodass

0  =  k1·v1 +  ... + km·vm.

Eine Menge von Vektoren, die nicht linear abhängig ist, heißt linear unabhängig.

Mit den Vektoren einer linear unabhängigen Menge lässt sich der Nullvektor nicht darstellen, außer wenn alle Koeffizienten gleich 0 sind.

Beispiel:  Die Menge {(1,0), (0,2), (2,3)} enthalten in reelle Zahlen2 ist linear abhängig, denn der Nullvektor hat die Darstellung

0  =  2·(1,0) + 1.5·(0,2) – 1·(2,3).

Bemerkung:  Die leere Menge ist linear unabhängig, denn es gibt keine Vektoren in der leeren Menge, durch die sich der Nullvektor darstellen lässt. Dagegen ist jede Menge, die den Nullvektor enthält, linear abhängig.

Definition:  Sei V ein Vektorraum. Eine maximale Menge B von linear unabhängigen Vektoren aus V heißt Basis von V. Die Mächtigkeit von B heißt Dimension von V:

dim(V)  =  |B|.

Beispiel:  Die Menge B = {(1,0), (0,1)} ist Basis von reelle Zahlen2, d.h. reelle Zahlen2 hat die Dimension 2.

Die Menge {x0, x1, x2, x3, ... } ist Basis des Vektorraums K[x] aller Polynome über einem Körper K. Somit ist dim(K[x]) = unendlich.

Bemerkung:  Stets ist {0}, die Menge, die nur aus dem Nullvektor besteht, ein Vektorraum. Die leere Menge ist Basis dieses Vektorraums, d.h. seine Dimension ist 0.

Satz:  Sei B eine Basis eines Vektorraums V über K. Dann lässt sich jeder Vektor v Element V als Linearkombination von Basisvektoren darstellen, d.h. B erzeugt V:

V = spitze Klammer aufB spitze Klammer zu.

Beweis:  Sei v Element V. Gilt v = bi für einen der Basisvektoren, so ist dieses die Darstellung. Ist v nicht in B enthalten, so ist B vereinigt {v} linear abhängig, denn B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V.

Der Nullvektor lässt sich also als Linearkombination von B vereinigt {v} darstellen, wobei mindestens ein Koeffizient ki ungleich 0 ist. Insbesondere muss der Koeffizient von v ungleich 0 sein, denn mit den Basisvektoren allein lässt sich der Nullvektor nicht darstellen. D.h. es gibt Basisvektoren b1, ..., bm,  m Element natürliche Zahlen0 mit

0  =  k0·v + k1·b1 +  ... + km·bm.

Da k0 ≠ 0, lässt sich v darstellen als

v  =  -k1/k0·b1 –  ... – kn/k0·bn.

Skalarprodukt

Definition:  Sei V ein Vektorraum über K. Eine Verknüpfung · : V × V Pfeil nach rechts K heißt Skalarprodukt, wenn sie folgende Eigenschaften hat:

  1. u · v  =  v · u,
  2. u·(v + w)   =  u · v + u · w,
  3. k·(u · v)  =  (k·u) · v

für alle u, v, w Element V und k Element K.

Man beachte wiederum die unterschiedlichen Rollen der Zeichen + und ·, die gleichermaßen für die Verknüpfungen innerhalb von K, zwischen K und V, und innerhalb von V verwendet werden.

Schreibweise:  Andere gebräuchliche Schreibweisen für das Skalarprodukt u · v zweier Vektoren u und v sind:

(u,v),   spitze Klammer aufu,vspitze Klammer zu   oder   spitze Klammer aufu|vspitze Klammer zu.

Definition:  In Kn ist das Skalarprodukt definiert als

u · v   =    Summe i = 1, ..., n    ui·vi

für alle u, v Element Kn.

Fasst man u und v als 1 × n-Matrizen auf, so entspricht das Skalarprodukt u · v dem Matrixprodukt u · vT.

Beispiel:  Sei V = reelle Zahlen3,   u = (1 2 0),   v = (3 4 5).  Dann ist

u · v   =   1·3 + 2·4 + 0·5   =   11.

Sei V = boolesche Werte5,   u = 1 0 0 1 1,   v = 1 0 1 1 0.  Dann ist

u · v   =   1·1 entweder oder 0·0 entweder oder 0·1 entweder oder 1·1 entweder oder 1·0   =   0.

Satz:  (Rechenregeln für das Skalarprodukt)

Es gilt für alle u, v Element V

(-uv  =  -(u·v)     und

v  =  0.

Die zweite Regel besagt, dass das Skalarprodukt zwischen dem Nullvektor und einem beliebigen Vektor v den Skalar 0 ergibt.

Beweis:  

(-uv  | -u = (-1)·u
 = ((-1)·uv| Eigenschaft 3 des Skalarprodukts anwenden
 = (-1)·(u·v)| Rechenregel aus K anwenden
 = -(u·v) 
   
   
v  | 0 = v + (-v)
 = (v + (-v))·v| Eigenschaft 2 des Skalarprodukts anwenden
 v·v + (-vv| Rechenregel s. o. anwenden
 v·v + (-(v·v))| additiv inverse Elemente in K
 = 0 

Orthogonalität

Definition:  Sei V ein Vektorraum. Zwei Vektoren x und y heißen orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist:

u orthogonal v  genau dann wenn  u · v = 0.

Alle Vektoren sind orthogonal zum Nullvektor, insbesondere ist der Nullvektor orthogonal zu sich selbst.

Beispiel:  Sei V = reelle Zahlen2,   u = (1 2),   v = (-2 1).  Dann ist

u · v   =   1·(-2) + 2·1   =   0.

Interpretiert man den reelle Zahlen2 als die Menge der Ortsvektoren zu Punkten in der Ebene, so stehen orthogonale Vektoren senkrecht aufeinander.

Sei V = boolesche Werten. Dann ist jeder Vektor mit einer geraden Anzahl von Einsen orthogonal zu sich selbst, z.B. u = 1 0 0 1:

u · u   =   1·1  entweder oder  0·0  entweder oder  0·0  entweder oder  1·1   =   0

Definition:  Ein Vektor v Element V heißt orthogonal zu einem Teilraum U von V, wenn v zu allen Vektoren von U orthogonal ist.

Satz:  Die Menge der zu einem Teilraum U orthogonalen Vektoren bildet einen Teilraum Uorthogonal von V.

Ist dim(V) = n und dim(U) = k, so ist dim(Uorthogonal) = n – k.

Uorthogonal heißt Orthogonalraum von U.

 

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