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Mathematische GrundlagenQuaternionen | 
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Erstmals beschrieben wurden Quaternionen 1853 von W. R. Hamilton
, heute finden sie Anwendung in der Computergrafik.
Definition: Eine Quaternion ist ein Quadrupel q = (a, b, c, d) mit a, b, c, d 
. Die Menge der Quaternionen wird mit 
bezeichnet.
In sind in bestimmter Weise eine Addition und eine Multiplikation definiert. Addition und Multiplikation in lassen sich auf die Addition bzw. Multiplikation von reellen Zahlen zurückführen.
Eine Möglichkeit hierzu ist, Quaternionen als hyperkomplexe Zahlen aufzufassen (mit 3 Imaginärteilen). Einer Quaternion (a, b, c, d) entspricht dann der Term
a + bi + cj + dk
Hierbei sind i, j und k drei unterschiedliche Arten von imaginären Zahlen. Addition und Multiplikation von Quaternionen ergeben sich nun durch Anwendung der Rechenregeln für Terme reeller Zahlen, wobei für die Multiplikation von i, j und k folgende Verknüpfungstafel zugrundegelegt wird:
| · | i | j | k |
|---|---|---|---|
| i | -1 | k | -j |
| j | -k | -1 | i |
| k | j | -i | -1 |
Wie aus der Verknüpfungstafel ersichtlich, ist die Multiplikation nicht kommutativ, denn es ist z.B. i·j = k, aber j·i = -k.
Satz: Die Menge der Quaternionen (, +, ·) bildet einen Schiefkörper.
Quaternionen lassen sich auch als 2
2-Matrizen komplexer Zahlen oder 44-Matrizen reeller Zahlen auffassen. Mit den Verknüpfungen Matrixaddition und Matrixmultiplikation ergibt sich derselbe Schiefkörper.
Einer Quaternion (a, b, c, d) entspricht hierbei die komplexe 22-Matrix
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bzw. die reelle 44-Matrix
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|  |
Definition: Die zu einer Quaternion q = (a, b, c, d) konjugierte Quaternion ist
q = (a, -b, -c, -d)
Der Betrag von q ist definiert als
| |q| = |  | q·q | = | | a2 + b2 + c2 + d2 |
Behauptung: Die zu einer Quaternion q multiplikativ inverse Quaternion ist
| q-1 = |
|
Beweis: Es ist
| q·q-1 = |
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= |
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= 1 |
Als unmittelbare Folgerung ergibt sich, dass für eine Quaternion q mit dem Betrag 1 gilt: q-1 = q.
Eine Rotation um die x-Achse um einen Winkel α wird durch die Quaternion q = (cos(α/2), sin(α/2), 0, 0) repräsentiert. Ein Punkt P = (x0, y0, z0) wird durch die Quaternion p = (0, x0, y0, z0) repräsentiert. Der rotierte Punkt p° ergibt sich als
p° = q · p · q
Die Rotation um einen beliebigen normierten Vektor (x, y, z) um einen Winkel α wird durch die Quaternion
q = (cos(α/2), x·sin(α/2), y·sin(α/2), z·sin(α/2))
repräsentiert.
Tatsächlich repräsentiert jede Quaternion mit dem Betrag 1 eine Rotation. Die Menge der so repräsentierten Rotationen bildet also die Oberfläche einer Einheitskugel im 4. Zwischen zwei Rotationen lässt sich interpolieren, indem zwischen zwei Punkten auf der Kugeloberfläche interpoliert wird.
| [TL 94] | K.D. Tönnies, H.U. Lemke: 3D-Computergrafische Darstellungen. Oldenbourg (1994) | |
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