Mathematische Grundlagen

Polynom

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Definition:  Sei K ein Körper. Eine Abbildung  p : K Pfeil nach rechts K mit

p(x)  =  an-1xn-1 + . . . + a0x0

für alle x Element K,  wobei n Element natürliche Zahlenai Element K,  heißt Polynom über K.1)

 

Die Zahlen ai heißen Koeffizienten von p. Sind alle Koeffizienten Null, d.h. gilt ai = 0 für alle i Element natürliche Zahlen0, so heißt das Polynom p das Nullpolynom.

 

Der Grad des Polynoms p ist die höchste in p vorkommende Potenz von x, d.h. es ist

grad(p)  =   geschweifte Klammer
 k    falls ak ≠ 0  und   ai = 0   für alle i > k,   k Element natürliche Zahlen0
-unendlich       sonst   (nur im Falle des Nullpolynoms)

Die Menge der Polynome über K wird als K[x] bezeichnet.

Beispiel:  Wir betrachten Polynome über reelle Zahlen, d.h. es ist K = reelle Zahlen, der Körper der reellen Zahlen.

p1  =  1.5x3 – 0.67x2 + x + 6

p2  =  x4 + x2 + 1

p3  =  0x5 + 0x4 + 0x3 – 12x2 – 0.5x + 4

p4  =  3

p5  =  0

Das Polynom p1 hat die Koeffizienten 1.5, -0.67, 1 und 6; der Grad von p1 ist 3, weil x3 die höchste Potenz in p1 ist.

In p2 sind die Koeffizienten von x3 und x gleich Null.

Der Grad von p3 ist 2, weil die Koeffizienten der höheren Potenzen von x gleich Null sind.

Jedes Element a des Körpers lässt sich als Polynom ax0 auf­fassen, hier p4 = 3x0.

p5 ist das Nullpolynom.

Die Menge der Polynome K[x] ist ein Ring, d.h. eine Struktur, in der man addieren, subtrahieren und multi­plizieren kann (z.B. ist die Menge ganze Zahlen der ganzen Zahlen auch ein Ring). Die Rechen­operationen in K[x] gehen aus den Rechenregeln des Körpers K hervor 2).

Anders als in einem Körper kann man in einem Ring nicht dividieren, sondern es gibt (wie in ganze Zahlen) nur eine Division mit Rest.

Satz:  Seien f und g Polynome, g ≠ 0. Dann gibt es eine eindeutige Darstellung

f  =  q · g + r   mit   grad(r) < grad(g)

d.h. das Polynom r ist der Rest bei Division von f durch g, das Polynom q ist der Quotient.

Beispiel:  Seien   f  =  6x3 + 7x2 + 6x + 4   und   g  =  2x2 + x + 1. Dann ergibt sich bei Division von f durch g der Quotient   q  =  3x + 2  und der Rest   r  =  x + 2.


1)  Statt Polynomen über einem Körper kann man auch Polynome über einem Ring betrachten.

2)  K[x] ist sogar ein spezieller Ring, ein sogenannter Integritäts­bereich.

 

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