Mathematische Grundlagen

Norm

 aufwärts

Definition

Definition:  Sei V ein Vektorraum über reelle Zahlen. Eine Abbildung  ||  || : V Pfeil nach rechts reelle Zahlen  heißt Norm, wenn für alle x, y Element V und c Element reelle Zahlen folgendes gilt:

||x||  =  0  genau dann wenn  x = 0

||c·x||  =  |c| · ||x||

||x + y|| kleiner gleich ||x|| + ||y||

Hierbei ist |c| der Betrag der reellen Zahl c.

Aus den drei Bedingungen folgt ||x||größer gleich0 für alle x Element V (siehe Aufgabe 2).

Anschaulich ist die Norm eines Vektors so etwas wie die Länge des Vektors.

Beispiel:  Sei V der Vektorraum reelle Zahlen2 über reelle Zahlen. Dann ist

||x||   =   Wurzelx02 + x12

für alle x = (x0, x1Element reelle Zahlen2 eine Norm in reelle Zahlen2, die euklidische Norm.

In der geo­metrischen Inter­pretation ist ||x|| die Länge des Ortsvektors zum Punkt (x0, x1) in der Ebene.

p-Norm

Die euklidische Norm lässt sich verall­gemeinern zur p-Norm.

Definition:  Sei p Element reelle Zahlen mit pgrößer gleich1. Dann ist

||x||p  =  (|x0|p + |x1|p)1/p

für alle x = (x0, x1Element reelle Zahlen2 eine Norm in reelle Zahlen2.

 

Für p = 2 ergibt sich gerade die euklidische Norm.

 

Für p = 1 ergibt sich die Betrags­summen­norm

||x||1  =  |x0| + |x1|

 

Für p Pfeil nach rechts unendlich ergibt sich die Maximumsnorm

||x||unendlich  =  max(|x0|, |x1|)

 

Die p-Norm lässt sich allgemein für den reelle Zahlenn definieren:

Definition:  Sei p Element reelle Zahlen mit pgrößer gleich1. Dann ist

||x||p  =  ( Summe i=0, ..., n-1  |xi|p )1/p

für alle x = (x0, ..., xn-1Element reelle Zahlenn eine Norm in reelle Zahlenn.

 

Ein Vektorraum V, in dem eine Norm definiert ist, heißt normierter Raum.

Beliebige Vektorräume

Sei K eine Körper und V ein Vektorraum über K. Damit man in V eine Norm definieren kann, ist es erforderlich, dass es in K eine Betrags­funktion gibt.

Definition:  Sei K ein Körper. Eine Funktion | · | : K Pfeil nach rechts reelle Zahlen ist eine Betrags­funktion, wenn gilt

|xgrößer gleich 0

|x|  =  0  genau dann wenn  x = 0

|x · y|  =  |x| · |y|

|x + ykleiner gleich |x| + |y|

für alle x, y Element K.

Beispiel:  Sei K = komplexe Zahlen der Körper der komplexen Zahlen. Für z Element komplexe Zahlen mit z = a + bi ist der Betrag folgender­maßen definiert:

|z|  =  Wurzela2 + b2

Mit dieser Betrags­funktion lassen sich die p-Normen im Vektorraum komplexe Zahlenn über komplexe Zahlen genau wie im reelle Zahlenn definieren.

Beispiel:  Sei (boolesche Werte, entweder oder, ·) der Körper mit den zwei Elementen 0 und 1, der Addition modulo 2 und der Multi­plikation modulo 2. Der Betrag von 0 Element boolesche Werte sei 0 Element reelle Zahlen, der Betrag von 1 Element boolesche Werte sei 1 Element reelle Zahlen. Diese Zuordnung erfüllt die angegebenen Eigen­schaften einer Betrags­funktion.

Im Vektorraum boolesche Werten über boolesche Werte lässt sich dann z.B. die 1-Norm (Betrags­summen­norm) definieren. Für einen Vektor x Element boolesche Werten ist die Norm ||x||1 gleich der Anzahl der Einsen in x; so ist etwa

|| 0 1 0 0 1 1 0 ||1  =  3

In der Codierungs­theorie wird die Betrags­summen­norm in boolesche Werten als Hamming-Gewicht bezeichnet.

Metrik

Aus einer Norm in V lässt sich in folgender Weise eine Metrik oder Abstands­funktion d : V × V Pfeil nach rechts reelle Zahlen erzeugen:

d(x, y)  =  ||x – y||

für alle x, y Element V.

Damit ist jeder normierte Raum auch ein metrischer Raum.

 

Die euklidische Norm erzeugt auf diese Weise den euklidischen Abstand, die 1-Norm den Manhattan-Abstand.

In der Codierungs­theorie ist die vom Hamming-Gewicht erzeugte Metrik der Hamming-Abstand.

Aufgaben

Aufgabe 1:  Sei V ein Vektorraum mit Norm ||  ||. Zeigen Sie unter Benutzung der Rechenregeln in einem Vektorraum, dass für alle x Element V gilt

||x||  =  ||-x||

Aufgabe 2:  Zeigen Sie, dass aus den drei Bedingungen der Definition der Norm folgt

||x||größer gleich0

für alle x Element V.

Aufgabe 3:  Sei x Element reelle Zahlen4 mit x = 1 2 3 4. Berechnen Sie mit Excel die p-Normen ||x||p für p = 1, 2, 3, 5, 8.

 

Weiter mit:   [Metrik]   [Literatur]   oder   up

 

homeH.W. Lang   Hochschule Flensburg   lang@hs-flensburg.de   Impressum   ©   Created: 17.03.2000   Updated: 21.05.2016
Valid HTML 4.01 Transitional


Campus Flensburg

Informatik in Flensburg studieren...

 

Neu gestaltetes Studienangebot:

Bachelor-Studiengang
Angewandte Informatik

mit Schwerpunkten auf den Themen Software, Web, Mobile, Security und Usability.

Ihr Abschluss
nach 7 Semestern:
Bachelor of Science

 

Ebenfalls ganz neu:

Master-Studiengang
Angewandte Informatik

Ein projektorientiertes Studium auf höchstem Niveau mit den Schwerpunkten Internet-Sicherheit, Mobile Computing und Human-Computer Interaction.

Ihr Abschluss
nach 3 Semestern:
Master of Science

 

Weitere Informatik-Studienangebote an der Hochschule Flensburg:

Medieninformatik

Wirtschaftsinformatik