Mathematische Grundlagen

Metrik

 aufwärts

Definition:  Sei M eine Menge. Eine Abbildung  d : M × M Pfeil nach rechts reelle Zahlen  heißt Metrik (Abstandsfunktion), wenn für alle u, v, w Element M  folgendes gilt:

d(u, v)  =  0  genau dann wenn  u = v

d(u, v)  =  d(v, u)

d(u, vkleiner gleich d(u, w) + d(w, v)

Stellen wir uns die Elemente von M als Punkte vor, so besagen die Bedingungen, dass jeder Punkt zu sich selbst den Abstand 0 hat, aber sonst zu keinem anderen Punkt, dass Hin- und Rückweg zwischen zwei Punkten gleich lang sind und dass der direkte Weg nie länger ist als ein Umweg.

Die letzte Bedingung ist bekannt als die Dreiecksungleichung. Aus den drei Bedingungen folgt d(u, v)größer gleich0 für alle u, v Element M, d.h. negative Abstände gibt es nicht.

 

Beispiel:  Sei M die Menge der Punkte (x, y) in der Ebene.

Dann ist der euklidische Abstand eine Metrik (Bild 1a):

d( (x1, y1), (x2, y2) )   =   Wurzel(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2

 

Ebenso ist der Manhattan-Abstand eine Metrik (Bild 1b):

d( (x1, y1), (x2, y2) )   =   |x1 – x2| + |y1 – y2|

 

euklidischer Abstand Manhattan-Abstand
(a) (b)
Bild 1: Euklidischer Abstand (a) und Manhattan-Abstand (b) zwischen zwei Punkten

Beispiel:  

In der Codierungstheorie ist der Hamming-Abstand eine Metrik.

Der Hamming-Abstand zweier gleichlanger Wörter ist gleich der Anzahl der Positionen, an denen sie sich unterscheiden.

So haben etwa 01101 und 00111 den Hamming-Abstand 2, da sie sich im 2. und im 4. Bit unterscheiden. Die Wörter THEORIE und THEODOR haben den Hamming-Abstand 3.

 

Weiter mit:   [Teilbarkeit, Kongruenz]   [Literatur]   oder up

 

homeH.W. Lang   Hochschule Flensburg   lang@hs-flensburg.de   Impressum   Datenschutz   ©   Created: 17.03.2000   Updated: 04.06.2018
Valid HTML 4.01 Transitional

Hochschule Flensburg
Campus Flensburg

Informatik in Flensburg studieren...

 

Neu gestaltetes Studienangebot:

Bachelor-Studiengang
Angewandte Informatik

mit Schwerpunkten auf den Themen Software, Web, Mobile, Security und Usability.

Ihr Abschluss
nach 7 Semestern:
Bachelor of Science

 

Ebenfalls ganz neu:

Master-Studiengang
Angewandte Informatik

Ein projektorientiertes Studium auf höchstem Niveau mit den Schwerpunkten Internet-Sicherheit, Mobile Computing und Human-Computer Interaction.

Ihr Abschluss
nach 3 Semestern:
Master of Science

 

Weitere Informatik-Studienangebote an der Hochschule Flensburg:

Medieninformatik

Wirtschaftsinformatik