Mathematische Grundlagen

Metrik

 aufwärts

Definition:  Sei M eine Menge. Eine Abbildung  d : M × M Pfeil nach rechts reelle Zahlen  heißt Metrik (Abstands­funktion), wenn für alle u, v, w Element M  folgendes gilt:

d(u, v)  =  0  genau dann wenn  u = v

d(u, v)  =  d(v, u)

d(u, vkleiner gleich d(u, w) + d(w, v)

Stellen wir uns die Elemente von M als Punkte vor, so besagen die Bedingungen, dass jeder Punkt zu sich selbst den Abstand 0 hat, aber sonst zu keinem anderen Punkt, dass Hin- und Rückweg zwischen zwei Punkten gleich lang sind und dass der direkte Weg nie länger ist als ein Umweg.

Die letzte Bedingung ist bekannt als die Dreiecks­ungleichung. Aus den drei Bedingungen folgt d(u, v)größer gleich0 für alle u, v Element M, d.h. negative Abstände gibt es nicht.

 

Beispiel:  Sei M die Menge der Punkte (x, y) in der Ebene.

Dann ist der euklidische Abstand eine Metrik (Bild 1a):

d( (x1, y1), (x2, y2) )   =   Wurzel(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2

 

Ebenso ist der Manhattan-Abstand eine Metrik (Bild 1b):

d( (x1, y1), (x2, y2) )   =   |x1 – x2| + |y1 – y2|

 

euklidischer Abstand Manhattan-Abstand
(a) (b)
Bild 1: Euklidischer Abstand (a) und Manhattan-Abstand (b) zwischen zwei Punkten

Beispiel:  

In der Codierungs­theorie ist der Hamming-Abstand eine Metrik.

Der Hamming-Abstand zweier gleichlanger Wörter ist gleich der Anzahl der Positionen, an denen sie sich unter­scheiden.

So haben etwa 01101 und 00111 den Hamming-Abstand 2, da sie sich im 2. und im 4. Bit unter­scheiden. Die Wörter THEORIE und THEODOR haben den Hamming-Abstand 3.

 

Weiter mit:   [Teilbarkeit, Kongruenz]   [Literatur]   oder up

 

homeH.W. Lang   Hochschule Flensburg   lang@hs-flensburg.de   Impressum   ©   Created: 17.03.2000   Updated: 21.05.2016
Valid HTML 4.01 Transitional


Campus Flensburg

Informatik in Flensburg studieren...

 

Neu gestaltetes Studienangebot:

Bachelor-Studiengang
Angewandte Informatik

mit Schwerpunkten auf den Themen Software, Web, Mobile, Security und Usability.

Ihr Abschluss
nach 7 Semestern:
Bachelor of Science

 

Ebenfalls ganz neu:

Master-Studiengang
Angewandte Informatik

Ein projektorientiertes Studium auf höchstem Niveau mit den Schwerpunkten Internet-Sicherheit, Mobile Computing und Human-Computer Interaction.

Ihr Abschluss
nach 3 Semestern:
Master of Science

 

Weitere Informatik-Studienangebote an der Hochschule Flensburg:

Medieninformatik

Wirtschaftsinformatik