Mathematische Grundlagen

Metrik

Definition: Sei M eine Menge. Eine Abbildung d : M kreuz M reelle Zahlen heißt Metrik (Abstandsfunktion), wenn für alle u, v, w Element M folgendes gilt:

d(u, v) = 0 genau dann wenn u = v

d(u, v) = d(v, u)

d(u, v) kleiner gleich d(u, w) + d(w, v)

Stellen wir uns die Elemente von M als Punkte vor, so besagen die Bedingungen, dass jeder Punkt zu sich selbst den Abstand 0 hat, aber sonst zu keinem anderen Punkt, dass Hin- und Rückweg zwischen zwei Punkten gleich lang sind und dass der direkte Weg nie länger ist als ein Umweg.

Die letzte Bedingung ist bekannt als die Dreiecksungleichung. Aus den drei Bedingungen folgt d(u, v) größer gleich 0 für alle u, v Element M, d.h. negative Abstände gibt es nicht.

Beispiel: Sei M die Menge der Punkte (x, y) in der Ebene.

Dann ist der euklidische Abstand eine Metrik:

d( (x₁, y₁), (x₂, y₂) ) =

(x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)²

Bild 1: Euklidischer Abstand zwischen zwei Punkten

Ebenso ist der Manhattan-Abstand eine Metrik:

d( (x₁, y₁), (x₂, y₂) ) = |x₁ – x₂| + |y₁ – y₂|

Bild 2: Manhattan-Abstand zwischen zwei Punkten

In der Codierungstheorie ist der Hamming-Abstand eine Metrik.

Der Hamming-Abstand zweier gleichlanger Wörter ist gleich der Anzahl der Positionen, an denen sie sich unterscheiden.

So haben etwa 01101 und 00111 den Hamming-Abstand 2, da sie sich im 2. und im 4. Bit unterscheiden. Die Wörter THEORIE und THEODOR haben den Hamming-Abstand 3.

Weiter mit: [Teilbarkeit, Kongruenz] [Literatur] oder