Mathematische Grundlagen

Menge

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Das grund­legendste Konzept in der Mathematik ist die Mengenlehre.

Mengenbildung

Definition:  Eine Menge ist eine Zusammen­fassung von wohl­bestimmten und wohl­unter­schiedenen Objekten zu einem Ganzen  (G. Cantorzur Person, 1895).

Die Objekte einer Menge A heißen Elemente von A.

Durch Mengen­bildung wird aus mehreren Objekten ein neues Objekt gemacht, die Menge.

Schreibweise:  

a ist Element der Menge A: a Element A (Element­zeichen)
A besteht aus den Elementen a, b und c: A = {a, b, c} (Mengen­klammern)

Beispiel:  Beispiele für Mengen sind:

{4, 5, 7}

{1, 2, 3, 4, ... }   (eine Menge mit unendlich vielen Elementen)

{ {a}, {a, b} }   (eine Menge, deren Elemente wiederum Mengen sind)

{ } =  leere Menge    (leere Menge)

{  leere Menge  }   (eine Menge, deren einziges Element die leere Menge ist)

Für die grund­legenden Mengen von Zahlen werden folgende Bezeich­nungen verwendet:

natürliche Zahlen  =  { 1, 2, 3, ... }   (natürliche Zahlen)

natürliche Zahlen0  =  { 0, 1, 2, 3, ... }   (natürliche Zahlen einschließ­lich der Null)

ganze Zahlen  =  { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }   (ganze Zahlen)

rationale Zahlen   (rationale Zahlen)

reelle Zahlen   (reelle Zahlen)

komplexe Zahlen   (komplexe Zahlen)

 

Es ist auch möglich, Objekte mit einer gemeinsamen Eigenschaft E(x) zu einer Menge zusammen­zufassen.

Schreibweise:  { x  |  E(x) }   (die Menge aller x, für die E(x) gilt)

Beispiel:  

{ n  |   es existiert k Element natürliche Zahlen : k2 = n }  =  {1, 4, 9, 16, 25, ...}   (Quadrat­zahlen)

{ x  |  x Element natürliche Zahlen   und   x < 5 }  =  {1, 2, 3, 4}   (alle natürlichen Zahlen, die kleiner als 5 sind)

{ x  |  x ≠ x }  =   leere Menge      (leere Menge)

Gehört zu der gemeinsamen Eigenschaft E(x), dass x aus einer schon vorhandenen Grundmenge stammt oder dass x durch Anwendung einer Operation zustande kommt, so lässt sich die Schreibweise abkürzen (vergl. gegenüber vorigem Beispiel)

Beispiel:  

{ x Element natürliche Zahlen  |  x < 5 }  =  {1, 2, 3, 4}

{ k2  |  k Element natürliche Zahlen }  =  {1, 4, 9, 16, 25, ...}

Operationen auf Mengen

Definition:  Seien A und B Mengen.

Die Vereinigung von A und B ist die Menge

A vereinigt B   =   { x  |  x Element A   oder   x Element B }.

Der Durchschnitt von A und B ist die Menge

A Durchschnitt B   =   { x  |  x Element A   und   x Element B }.

Die Differenz von A und B ist die Menge

A \ B   =   { x  |  x Element A   und   x nicht Element B }.

Beispiel:  {1, 3, 5}  vereinigt  {1, 2, 3}  =  {1, 2, 3, 5}

{1, 3, 5}  Durchschnitt  {1, 2, 3}  =  {1, 3}

{1, 3, 5} \ {1, 2, 3}  =  {5}

Definition:  Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn A Durchschnitt B =  leere Menge  gilt, d.h. wenn ihr Durchschnitt die leere Menge ist.

Satz:  (Rechenregeln)

Für alle Mengen A, B, C gilt:

(A vereinigt Bvereinigt C  =  A vereinigt (B vereinigt C) (Assoziativität)
(A Durchschnitt BDurchschnitt C  =  A Durchschnitt (B Durchschnitt C) 
A vereinigt B  =  B vereinigt A (Kommutativität)
A Durchschnitt B  =  B Durchschnitt A 
A vereinigt A  =  A (Idempotenz)
A Durchschnitt A  =  A 
A vereinigt (B Durchschnitt C)  =  (A vereinigt BDurchschnitt (A vereinigt C) (Distributivität)
A Durchschnitt (B vereinigt C)  =  (A Durchschnitt Bvereinigt (A Durchschnitt C) 

Teilmenge

Definition:  Seien A und B Mengen. A ist enthalten in B oder A ist Teilmenge von B, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind:

A enthalten in B  genau dann wenn   für alle x : (x Element A  folgt  x Element B).

Beispiel:  {1, 5} enthalten in {1, 3, 5}

{2, 4, 6, 8, ... } enthalten in natürliche Zahlen

{1, 2, 3} enthalten in {1, 2, 3}

Satz:  Es gelten folgende Beziehungen für alle Mengen A, B, C :

A enthalten in A,

A enthalten in B  und  B enthalten in A  genau dann wenn  A = B,

A enthalten in B  und  B enthalten in C  folgt  A enthalten in C

sowie

 leere Menge  enthalten in A.

Komplement

Oft ist eine bestimmte Grundmenge G fest vorgegeben, z.B. G = natürliche Zahlen, und wir betrachten eine Teilmenge A enthalten in G. Dann wird die Differenz G \ A, also die Menge aller Elemente von G, die nicht zu A gehören, als das Komplement von A bezeichnet.

Definition:  Sei G eine vorgegebene Menge und sei A enthalten in G. Dann ist

A  =  G \ A  =  { x Element G  |  x nicht Element A }

das Komplement der Menge A.

Satz:  (Rechenregeln)

Für die Grundmenge G sowie für alle Mengen A, B enthalten in G gilt:

G  =   leere Menge 

A  =  A

A vereinigt A  =  G

A vereinigt  leere Menge   =  A

A vereinigt G  =  G

A vereinigt B  =  A Durchschnitt B

Die letzt­genannte Rechenregel wird als Regel vonDe Morganzur Person bezeichnet.

Indem in den oben­stehenden Regeln G und  leere Menge  sowie  vereinigt  und  Durchschnitt  vertauscht werden, ergeben sich weitere, ent­sprechende duale Regeln.

Potenzmenge

Definition:  Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A:

Potenzmenge(A)  =  { M  |  M enthalten in A}.

Beispiel:  Potenzmenge({1, 2, 3})  =  {  leere Menge , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }

Potenzmengeleere Menge )  =  {  leere Menge  }

Die Potenzmenge einer endlichen Menge mit n Elementen hat 2n Elemente. So hat z.B. die Potenzmenge der obigen 3-elementigen Menge 23 = 8 Elemente. Die Potenzmenge der leeren Menge (0 Elemente) hat 20 = 1 Element.

Kartesisches Produkt

Definition:  Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen aus A bzw. B:

A × B  =  { (a, b)  |  a Element Ab Element B }.

Durch Paarbildung wird aus zwei Objekten ein neues Objekt gemacht, das Paar. Anders als bei der Mengen­bildung kommt es hier jedoch auf die Reihenfolge der Komponenten an; die Komponenten brauchen auch nicht verschieden zu sein.

Die Paarbildung kann auf die Mengen­bildung zurück­geführt werden, indem das geordnete Paar (ab) als abkürzende Schreibweise für die Menge { {a}, {ab} } angesehen wird (nach K. Kuratowskizur Person).

Zwei Paare (a, b) und (c, d) sind gleich, wenn a = c und b = d ist.

Definition:  Das kartesische Produkt dreier Mengen A, B und C ist die Menge aller geordneten Tripel von Elementen aus A, B bzw. C:

A × B × C   =   { (a, b, c)  |  a Element Ab Element Bc Element C}.

Das n-fache kartesische Produkt einer Menge A ist die Menge aller n-Tupel von Elementen aus A:

An  =  A ×  . . .  × A   =   { (a0, ..., an-1)  |  ai Element Ai = 0, ..., n-1}.

Es ist

A1  =  A .

Aufgaben

Aufgabe 1:  (Mengen­operationen, Teilmenge)

Beweisen Sie formal, dass für beliebige Mengen A und B gilt

A Durchschnitt B  enthalten in  A vereinigt B

Hinweis: Beginnen Sie Ihren Beweis mit der Formulierung: "Sei a Element A Durchschnitt B beliebig. Dann gilt..." und wenden Sie dann die Definitionen von Durchschnitt, Vereinigung und Teilmenge an.

Aufgabe 2:  (Komplement)

Beweisen Sie mithilfe der oben angegebenen Rechenregeln für Komplemente von Mengen die ent­sprechenden dualen Regeln. Die dualen Regeln ergeben sich, indem G und  leere Menge  sowie  vereinigt  und  Durchschnitt  vertauscht werden.

Aufgabe 3:  (Potenzmenge)

Wie viele Elemente enthalten die Potenzmengen der Mengen A = {1} und B = {1, 2}?

Aufgabe 4:  (Potenzmenge)

Für die leere Menge  leere Menge  gilt

Potenzmengeleere Menge )  =  {  leere Menge  }

Erklären Sie den Unterschied zwischen den Mengen  leere Menge  und {  leere Menge  }.

Aufgabe 5:  (Kartesisches Produkt)

Geben Sie das kartesische Produkt A × B der Mengen A = {1, 2} und B = {1, 2, 3} an. Überprüfen Sie, ob Ihr Ergebnis 2·3 = 6 Elemente enthält.

Aufgabe 6:  (Kartesisches Produkt)

Sei boolesche Werte = {0, 1}. Geben Sie boolesche Werte3 an.

Literatur

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