Grundlagen

Matrix

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Definition

Definition:  Sei K ein Körper. Eine m×n-Matrix über K ist eine Abbildung A : {1, ..., m} × {1, ...,  nPfeil nach rechts K.

Eine m × n-Matrix A wird in folgender Form geschrieben

A   =   [ai,j]   =   eckige Klammer auf
a1,1  . . .  a1,n
 drei Punkte übereinander   
am,1  . . .  am,n
eckige Klammer zu

Die Matrix hat m Zeilen und n Spalten. Die Einträge der Matrix sind die Elemente ai,j Element K  (i = 1, ..., mj = 1, ..., n).

Die Schreibweise A  =  [ai,j] bedeutet, dass A eine Matrix ist, die aus den Einträgen ai,j mit i = 1, ..., mj = 1, ..., n besteht. Hierbei müssen m und n aus dem Zusammenhang bekannt sein.

Die i-te Zeile von A ist der Zeilenvektor Ai,• , die j-te Spalte ist der Spalten­vektor A •, j . Man beachte die Stellung des Punktes im Index, an der zu erkennen ist, ob ein Zeilen- oder Spalten­vektor gemeint ist.

Ein Zeilenvektor lässt sich auch als 1×n-Matrix auffassen, ein Spalten­vektor als m×1-Matrix.

Beispiel:  Folgende Matrix A ist eine 2×3-Matrix über reelle Zahlen :

A   =   eckige Klammer auf
-1 2 0
034
eckige Klammer zu

Die Zeilen­vektoren von A sind  A1,• = [ -1  2 -0 ]  und  A2,• = [ 0  3 -4 ], die Spalten­vektoren sind

A •,1   =   eckige Klammer auf
-1
0
eckige Klammer zu
 
   A •,2   =   eckige Klammer auf
2
3
eckige Klammer zu
 
   und   A •,3   =   eckige Klammer auf
0
4
eckige Klammer zu

Matrixaddition

Um mit Matrizen rechnen zu können, definieren wir die Addition von Matrizen, die Multi­plikation zwischen einem Element des Körpers K und einer Matrix und später auch die Multi­plikation von Matrizen. Dabei wird auf die Rechen­operationen des zugrunde­liegenden Körpers K zurück­gegriffen.

Definition:  Seien A und B zwei m×n-Matrizen. Die Addition geschieht komponenten­weise:

[ai,j] + [bi,j]  =   [ai,j+bi,j]

Die Multi­plikation einer Matrix A mit einem Element c Element K geschieht ebenfalls komponenten­weise, d.h. indem jedes Matrix­element mit c multi­pliziert wird:

c·[ai,j]   =   [c·ai,j]

Definition:  

Die Nullmatrix O ist die m×n-Matrix, deren Einträge alle 0 sind:

O   =   eckige Klammer auf
0  . . .  0
 drei Punkte übereinander   
0  . . .  0
eckige Klammer zu

Beispiel:  

A   =   eckige Klammer auf
-1 2 0
034
eckige Klammer zu
 
   A + A  =   eckige Klammer auf
-2 4 0
068
eckige Klammer zu
 
   2·A   =   eckige Klammer auf
-2 4 0
068
eckige Klammer zu

Satz:  Sei K ein Körper sowie m, n Element natürliche Zahlen. Dann ist die Menge K(m,n) aller m×n-Matrizen über K ein Vektorraum über K.

Die Zahlen m und n müssen fest sein, da nur Matrizen gleicher Größe addiert werden können.

 

Matrixmultiplikation

Definition:  Sei A eine m × n-Matrix und B eine n×p-Matrix. Das Produkt von A und B ist die m×p-Matrix C = [ci,j] mit

ci,j   =    Summe k=1, ..., n  ai,k · bk,j

Jeder Eintrag ci,j ergibt sich also als Skalar­produkt des i-ten Zeilen­vektors von A mit dem j-ten Spalten­vektor von B, d.h. es gilt

ci,j   =   Ai,• · B•, j

Bild 1 zeigt schematisch, wie das Element ci,j berechnet wird.

Bild 1: Berechnung eines Elements ci,j
Bild 1: Berechnung eines Elements ci,j

Matrix-Vektor-Multiplikation

Die Multi­plikation zwischen einer m×n-Matrix A und einem Spalten­vektor u der Länge n lässt sich auf­fassen als Matrix­multiplikation zwischen einer m×n- und einer n×1-Matrix. Das Ergebnis ist ein Spalten­vektor der Länge m (Bild 2a).

Die Multi­plikation zwischen einem Zeilenvektor u der Länge m und einer m×n-Matrix A und lässt sich auffassen als Matrix­multiplikation zwischen einer 1×m- und einer m×n-Matrix. Das Ergebnis ist ein Zeilenvektor der Länge n (Bild 2b).

Matrix-Vektor-Multiplikation
Bild 2: Matrix-Vektor-Multiplikation Au = v bzw. uA = v

Transposition

Definition:  Sei A = [ai,j] eine m×n-Matrix. Die n×m-Matrix B mit

[bi,j]  =  [aj,i]

wird als die Trans­ponierte AT von A bezeichnet; d.h. AT entsteht aus A, indem die Zeilen von A zu den Spalten von AT gemacht werden.

Beispiel:  

A   =  eckige Klammer auf
-1 2 0
034
eckige Klammer zu
 
   AT  =  eckige Klammer auf
-1 0
23
04
eckige Klammer zu

Quadratische Matrizen

Definition:  Eine n×n-Matrix wird als quadratische Matrix bezeichnet. Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn  A = AT  gilt. Die Elemente ai,i einer quadratischen Matrix heißen Diagonal­elemente. Eine quadratische Matrix heißt Diagonal­matrix, wenn alle Elemente außer möglicher­weise den Diagonal­elementen gleich 0 sind. Eine Diagonal­matrix heißt Einheits­matrix, wenn alle Diagonal­elemente gleich 1 sind.

Beispiel:  Es seien

A   =   eckige Klammer auf
-1 2 0
234
04-5
eckige Klammer zu
 
   D  =   eckige Klammer auf
-1 0 0
000
004
eckige Klammer zu
 
   I  =   eckige Klammer auf
1 0 0
010
001
eckige Klammer zu

Alle Matrizen sind quadratisch, A ist symmetrisch, D ist Diagonal­matrix, I ist Einheits­matrix.

 

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