Mathematische Grundlagen

Gruppentheorie

 aufwärts

Eine Gruppe kann aus endlich vielen oder unendlich vielen Elementen bestehen. Die folgenden Definitionen und Sätze gelten teils nur für endliche Gruppen, teils für alle Gruppen.

Untergruppe

Definition:  Sei (G,  • , e) eine Gruppe. Eine Teilmenge H enthalten in G heißt Untergruppe von G, wenn (H,  • , e) eine Gruppe ist.

Beispiel:  Die Menge der geraden Zahlen ist eine Untergruppe von (ganze Zahlen, +, 0).

Satz:  (Untergruppenkriterium für endliche Gruppen)

Sei (G,  • , e) eine endliche Gruppe. Dann bildet jede nichtleere Teilmenge H enthalten in G, die unter der Verknüpfung  •  abgeschlossen ist, eine Untergruppe von G.

 

Für endliche Guppen gilt der folgende Satz von Lagrangezur Person; dieser Satz ist gelegentlich ein wichtiges Beweishilfsmittel:

Satz:  Sei (G,  • , e) eine endliche Gruppe und (H,  • , e) eine Untergruppe von G.  Dann gilt

|H|  ist Teiler von  |G|.

|H| bzw. |G| bezeichnet die Anzahl der Elemente von H bzw. G . Aus dem Satz folgt, dass eine echte Untergruppe einer endlichen Gruppe G höchstens halb so viele Elemente haben kann wie G.

Erzeugendes Element

Definition:  Sei (G,  • , e) eine Gruppe. Die k-te Potenz eines Elementes a Element G ist induktiv wie folgt definiert:

ak  =   geschweifte Klammer
e    für k = 0
a • ak-1    für alle k Element natürliche Zahlen

Es ist also ak  =  a • ... • a (k-mal).

Mithilfe des Untergruppenkriteriums lässt sich eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G erzeugen, indem alle Potenzen eines einzelnen Elementes a Element G gebildet werden. D.h. a wird mit sich selbst verknüpft, das Ergebnis wiederum mit a usw., solange, bis nichts Neues mehr hinzukommt.

Definition:  Sei (G,  • , e) eine endliche Gruppe und a Element G. Die von a erzeugte Untergruppe ist

spitze Klammer aufaspitze Klammer zu  =  { ak  |  k Element natürliche Zahlen}.

Das Element a ist das erzeugende Element von spitze Klammer aufaspitze Klammer zu.

Beispiel:  Die Menge ganze Zahlen6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} bildet mit der Operation +6, der Addition modulo 6, eine Gruppe. Die Untergruppen von (ganze Zahlen6, +6, 0) sind

spitze Klammer auf0spitze Klammer zu  =  {0}
spitze Klammer auf1spitze Klammer zu  =  {1, 2, 3, 4, 5, 0}
spitze Klammer auf2spitze Klammer zu  =  {2, 4, 0}
spitze Klammer auf3spitze Klammer zu  =  {3, 0}

 

Zyklische Gruppe

Definition:  Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn sie das Erzeugnis eines einzelnen Elements ist, d.h. wenn sie aus den Potenzen eines einzigen Elements a Element G besteht:

G  zyklisch  genau dann wenn    es existiert  a Element G   :   G  =  spitze Klammer aufaspitze Klammer zu  =  { ak  |  k Element ganze Zahlen }

Bei endlichen zyklischen Gruppen brauchen nur die Potenzen ak mit k Element {1, ..., |G|} gebildet zu werden, danach wiederholen sich die Werte.

Beispiel:  

Die additive Gruppe (ganze Zahlen6, +6, 0) ist zyklisch, denn

ganze Zahlen6  =  spitze Klammer auf1spitze Klammer zu

Die multiplikative Gruppe modulo 10 ganze Zahlen10* ist zyklisch, denn

ganze Zahlen10*  =  spitze Klammer auf3spitze Klammer zu  =  { 31, 32, 33, 34 }  =  { 3, 9, 7, 1 }

Die Gruppe ganze Zahlen7* ist zyklisch, denn

ganze Zahlen7*  =  spitze Klammer auf5spitze Klammer zu  =  { 51, ..., 56 }  =  { 5, 4, 6, 2, 3, 1 }

Die Gruppe ganze Zahlen15* ist nicht zyklisch. Jedes einzelne Element von ganze Zahlen15* erzeugt eine echte Untergruppe.

Ordnung

Definition:  Sei (G,  • , e) eine Gruppe. Die Ordnung ord(a) eines Elementes a Element G ist die kleinste Zahl k Element natürliche Zahlen, für die gilt

ak  =  e.

Satz:  Sei (G,  • , e) eine endliche Gruppe und a Element G. Dann gilt

ord(a)  =  |spitze Klammer aufaspitze Klammer zu|.

Beweis:  Sei k = ord(a), d.h. die kleinste natürliche Zahl, für die gilt ak = e. Dann sind die von a erzeugten Elemente a1, a2, ..., ak alle verschieden. Denn wäre a i = a j mit 1kleiner gleichi < jkleiner gleichk, so wäre a j-i = e, wobei j-i < k, im Widerspruch dazu, dass k die kleinste Zahl ist mit ak = e.

Ebenso ist klar, dass ab ak+1 = ak • a = e • a = a keine neuen Elemente mehr hinzukommen. Somit hat spitze Klammer aufaspitze Klammer zu genau k Elemente.

Satz:  Sei (G,  • , e) eine endliche Gruppe. Dann gilt für alle a Element G

a|G|  =  e.

Beweis:  Nach dem Satz von Lagrange und nach dem vorigen Satz gilt

|G|  =  q · |spitze Klammer aufaspitze Klammer zu|  =  q · ord(a)   für irgendein q Element natürliche Zahlen.

Ist ord(a) = k, so ist ak = e und

a|G|  =  aq·k  =  (ak)q  =  eq  =  e.

 

Aufgaben

Aufgabe 1:  Zeigen Sie: Jede zyklische Gruppe ist abelsch.

 

Weiter mit:   [Ring, Körper]   [Literatur]   oder   up

 

homeH.W. Lang   Hochschule Flensburg   lang@hs-flensburg.de   Impressum   Datenschutz   ©   Created: 28.08.2000   Updated: 04.06.2018
Valid HTML 4.01 Transitional

Hochschule Flensburg
Campus Flensburg

Informatik in Flensburg studieren...

 

Neu gestaltetes Studienangebot:

Bachelor-Studiengang
Angewandte Informatik

mit Schwerpunkten auf den Themen Software, Web, Mobile, Security und Usability.

Ihr Abschluss
nach 7 Semestern:
Bachelor of Science

 

Ebenfalls ganz neu:

Master-Studiengang
Angewandte Informatik

Ein projektorientiertes Studium auf höchstem Niveau mit den Schwerpunkten Internet-Sicherheit, Mobile Computing und Human-Computer Interaction.

Ihr Abschluss
nach 3 Semestern:
Master of Science

 

Weitere Informatik-Studienangebote an der Hochschule Flensburg:

Medieninformatik

Wirtschaftsinformatik